[확률과 통계] 확률과 통계에서 조합(combination) 이해하기 (with example)

확률과 통계에서 경우의 수를 계산할 때 중요한 개념 중 하나가 바로 **조합(combination)**입니다. 조합은 순서를 고려하지 않고 n개의 요소 중 r개를 선택하는 방법을 의미합니다. 이번 글에서는 조합의 기본 개념과 성질을 설명하고, 다양한 문제를 해결하는 방법을 소개하겠습니다.

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1. 조합의 기본 개념

조합의 정의

조합은 순서를 고려하지 않고 주어진 요소에서 특정 개수를 선택하는 경우의 수입니다. 수식으로는 다음과 같이 정의됩니다.

 

nCr = nPr / r! = n! / (r!(n-r)!)

 

예제 1: 7명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수

7명 중에서 3명을 선택하는 경우를 계산해보겠습니다.

7C3 = (7P3) / 3! = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35

즉, 총 35가지 방법이 존재합니다.

 

조합과 순열의 차이

조합은 순서를 고려하지 않는다는 점에서 순열과 다릅니다. 예를 들어, 3명 중에서 2명을 선택한다고 가정해 보겠습니다. 순열로 뽑으면 다음과 같은 경우가 가능합니다.

• ab, ba
• bc, cb
• ac, ca

그러나 조합에서는 순서가 없는 동일한 요소를 하나로 취급하므로, 중복된 경우를 제거해야 합니다. 따라서 위의 경우 중 ab, bc, ac만이 유효하며, 2!로 나누어 중복을 제거합니다.

 

2. 조합의 성질

조합의 결과는 대칭을 이룬다

조합은 다음과 같은 대칭성을 가집니다.

nCr = nC(n-r)

예제:

5C0 = 1 5C1 = 5 5C2 = 10 5C3 = 10 5C4 = 5 5C5 = 1

즉, 5C3과 5C2는 동일한 값을 가집니다. 이는 선택하는 개수가 줄어들수록 경우의 수도 동일하게 유지되기 때문입니다.

r이 0이면 항상 1

조합에서 r이 0이면 항상 1입니다.

5C0 = 5! / (0!(5-0)!) = 5! / (0!5!) = 1

이는 요소를 하나도 선택하지 않는 경우의 수는 단 하나(선택하지 않는 경우)밖에 없음을 의미합니다.

 

3. 조합을 활용한 문제 풀이

(1) 특정 요소가 반드시 포함되도록

문제: 총 10명 중에서 대표 3명을 뽑을 때, a와 b가 반드시 포함되는 경우의 수를 구하시오.

1. a와 b가 반드시 포함되므로, 남은 한 명을 나머지 8명 중에서 선택하면 됩니다.
2. 따라서 경우의 수는 8C1입니다.

8C1 = 8! / (1!(8-1)!) = 8

즉, 8가지 방법이 존재합니다.

 

(2) 특정 요소가 반드시 포함되지 않도록

문제: 총 10명 중에서 대표 3명을 뽑을 때, a와 b가 반드시 포함되지 않는 경우의 수를 구하시오.

1. a와 b를 제외한 남은 8명 중에서 3명을 선택해야 합니다.
2. 따라서 경우의 수는 8C3입니다.

8C3 = 8! / (3!(8-3)!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56

즉, 56가지 방법이 존재합니다.

 

(3) 특정 요소가 적어도 한 명 포함되도록

문제: 총 10명 중에서 대표 3명을 뽑을 때, a와 b 중 적어도 1명이 포함되도록 하는 경우의 수를 구하시오.

1. 전체 경우의 수는 10C3입니다.
2. a와 b가 모두 포함되지 않는 경우의 수는 8C3입니다.
3. 따라서, 적어도 a 또는 b 중 한 명이 포함되는 경우의 수는 전체 경우의 수에서 a와 b가 모두 포함되지 않는 경우를 빼면 됩니다.

10C3 - 8C3

계산 과정:

10C3 = 10! / (3!(10-3)!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120

8C3 = 56

120 - 56 = 64

즉, 64가지 방법이 존재합니다.

 

4. 결론

조합(combination)은 순서를 고려하지 않고 요소를 선택하는 방법이며, 다음과 같은 공식으로 표현됩니다.

nCr = n! / (r!(n-r)!)

조합의 주요 성질로는 대칭성이 있으며, 조합을 활용하면 특정 요소를 포함하거나 제외하는 경우의 수를 쉽게 계산할 수 있습니다. 또한, **여사건(전체에서 특정 사건을 제외하는 방법)**을 사용하면 문제를 보다 효율적으로 해결할 수 있습니다.