[확률과 통계] 합의 법칙과 곱의 법칙 이해하기

확률과 통계에서 문제를 해결할 때 기본적으로 활용되는 두 가지 중요한 법칙이 있습니다. 바로 합의 법칙과 곱의 법칙입니다. 이 두 법칙은 사건이 발생하는 방식을 이해하고, 경우의 수를 올바르게 계산하는 데 필수적입니다. 이번 글에서는 합의 법칙과 곱의 법칙을 각각 설명하고, 예제와 함께 그 개념을 확실히 정리해보겠습니다.

 

1. 곱의 법칙 (Multiplication Principle)

곱의 법칙은 '그리고 (AND)'의 개념을 기반으로 합니다. 즉, 서로 독립적인 여러 선택을 연속적으로 수행해야 하는 경우, 각 선택의 가능한 경우의 수를 모두 곱하면 전체 경우의 수가 된다는 원리입니다.

곱의 법칙 공식

만약 사건 A가 가지 방법으로 발생할 수 있고, 사건 B가 사건 A가 발생한 후 가지 방법으로 발생할 수 있다면, 전체 경우의 수는 다음과 같이 계산됩니다.

예제

옷을 입는 경우를 생각해보겠습니다. 만약 다음과 같은 선택지가 주어진다면:

• 상의: 5가지 종류
• 하의: 3가지 종류
• 양말: 3가지 종류

각 선택이 독립적으로 이루어질 경우, 곱의 법칙에 따라 가능한 옷 조합의 총 개수는: 5 x 3 x 3

즉, 총 45가지 방법으로 옷을 조합할 수 있습니다.

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2. 합의 법칙 (Addition Principle)

합의 법칙은 '또는 (OR)'의 개념을 기반으로 합니다. 즉, 어떤 사건이 여러 범주로 분류될 수 있고, 이 범주들이 서로 겹치지 않는다면, 전체 경우의 수는 각 범주의 경우의 수를 더하면 된다는 원리입니다.

합의 법칙 공식

만약 사건 A가 가지 방법으로 발생할 수 있고, 사건 B가 가지 방법으로 발생할 수 있으며, A와 B가 동시에 발생할 수 없는 경우라면 전체 경우의 수는 다음과 같이 계산됩니다.

예제

예를 들어, 한 반에 남학생과 여학생이 있다고 가정해보겠습니다. 만약:

• 남학생이 48명
• 여학생이 52명

이라면, 반 전체 학생 수는 합의 법칙에 의해: 48 + 52

으로 계산됩니다. 여기서 중요한 점은 남학생과 여학생이 서로 겹치지 않는 집합이라는 것입니다. 즉, 한 사람이 동시에 남학생이면서 여학생일 수는 없으므로 단순한 덧셈으로 총합을 구할 수 있습니다.

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3. 합의 법칙과 곱의 법칙을 혼합한 문제

실제 문제를 풀 때는 합의 법칙과 곱의 법칙을 조합해야 하는 경우가 많습니다. 예를 들어 다음과 같은 상황을 가정해 보겠습니다.

문제

한 음식점에서 점심 메뉴를 선택할 때, 다음과 같은 선택지가 있습니다.

• 한식 메뉴: 3가지
• 양식 메뉴: 4가지
• 후식 선택: 2가지

이제 손님이 점심을 고르는 경우의 수를 계산해 보겠습니다.

해결 과정

• 먼저, 한식과 양식 중 하나를 선택해야 합니다. (서로 겹치지 않는 선택 → 합의 법칙 적용)
• 그 후, 후식을 선택합니다. (독립적인 선택 → 곱의 법칙 적용)

따라서 총 경우의 수는

(3 x 2) + (4 x 2) = 6 + 8 = 14

14가지가 됩니다.

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4. 합의 법칙과 곱의 법칙을 활용하는 팁

1. AND (그리고)가 나오면 곱의 법칙을 생각하자.
2. OR (또는)가 나오면 합의 법칙을 생각하자.
3. 두 법칙을 조합해야 하는 경우, 먼저 분류(합의 법칙)를 한 후, 각각의 경우에서 경우의 수를 곱의 법칙으로 계산하자.
4. 문제를 해결할 때, 사건들이 동시에 일어날 수 있는지와 겹치는 부분이 있는지를 명확히 판단하자.

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결론

확률과 통계에서 경우의 수를 올바르게 계산하는 것은 매우 중요한 개념이며, 이를 위해 합의 법칙과 곱의 법칙을 확실히 이해해야 합니다. 곱의 법칙은 '그리고(AND)' 개념을 활용해 서로 독립적인 선택을 곱하는 방식이고, 합의 법칙은 '또는(OR)' 개념을 활용해 겹치지 않는 선택을 더하는 방식입니다. 문제를 풀 때 항상 사건의 독립성과 겹치는 부분을 고려하여 이 두 법칙을 적절히 적용하면 보다 쉽게 경우의 수를 구할 수 있습니다.